Question

（2000•天津）已知△ABC中，AC=BC=3，∠C=90°，AB上有一動點P，過P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）設CF=x，用含x的代數(shù)式把Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面積表示出來；
（2）是否存在這樣的P點，使Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面積都小于4．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，那么∠A=∠B=45°，由此可得△AEP、△BPF也是等腰Rt△，因此此題中相等的線段有AE=PE=CF=x，BF=PF=CE=3-x，已知了這些線段的長，即可根據(jù)各自的面積公式進行解答．
（2）在直角坐標系中作出三個二次函數(shù)的圖象，結合圖象，令兩函數(shù)關系式相等，求出x、y的值，再依據(jù)x的取值范圍，求y的范圍，進而判斷面積是否小于4．
解答：解：（1）△AEP的面積為，
△PFB的面積為；
矩形ECFP的面積為x（）．

（2）設y₁=x²，y₂=x（），y₃=（）²
這三個二次函數(shù)的圖象如圖所示，令，
得x₁=0，x₂=2；
當x₁=0時，y₁=y₂=0；當x₂=2時，y₁=y₂=4；
∴y₁和y₂的交點坐標為O（0，0），A（2，4）．
由圖知，在中，y₁≥4，
由x（）=（）²
得x₃=，x₄=3；
當x₃=時，y₂=y₃=4，
當x₄=3時，y₂=y₃=0，
∴y₂和y₃的交點坐標為B（），C（），
由圖知，在時，y₃≥4，
在時，y₂≥4，
∴在0＜x＜3中，y₁，y₂，y₃中最大面積都不小于4，
因此不存在這樣的點P，使得三個圖形的面積都小于4．
點評：本題二次函數(shù)的綜合題，要求會求兩圖象的交點，結合圖象解決問題．