Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點F．

1.求證：CF=BF；

2.若AD=2，⊙O的半徑為3，求BC的長

 

Answer 1

【答案】

 

1.連結AC，如圖

∵C是弧BD的中點  ∴∠BDC=∠DBC

又∠BDC=∠BAC

在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴  ∠BCE=∠BAC ，

 ∠BCE=∠DBC

∴  CF=BF  因此，CF=BF．                  3分

2.證法一：作CG⊥AD于點G，

∵C是弧BD的中點    ∴ ∠CAG=∠BAC ，

 即AC是∠BAD的角平分線．

∴  CE=CG，AE=AG ，在Rt△BCE與Rt△DCG中，CE=CG ， CB=CD

 ∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴BE=DG ，∴AE=AB-BE=AG=AD+DG即   6-BE=2+DG      

∴2BE=4，即 BE=2  又  △BCE∽△BAC，∴

（舍去負值），∴                           7分

（2）證法二：∵AB是⊙O的直徑，CE⊥AB

 

∴∠BEF=，

在與中，

∵

∴∽，則 

即，   ∴ 

又∵，  ∴

利用勾股定理得： 

又∵△EBC∽△ECA則，即則 

∴即

∴   ∴ 

【解析】（1）等弧對等角；

       （2）以上兩種解題方法都用到了三角形的相似。