Question

在△ABC中，已知a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，且a、b為關(guān)于x的方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個根，在AB上取一點(diǎn)D，作DE⊥AC于E，若DE=BD，

BC

AC

=

3

4

，求AE的長．

Answer 1

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：
a+b=c+4，ab=4c+8
那么（a+b）²=a²+b²+2ab=a²+b²+2（4c+8）=（c+4）²
a²+b²=c²
那么△ABC為直角三角形，且∠C為直角，那么DE∥BC，
根據(jù)：

BC

AC

=

3

4

，

a

b

=

3

4

，設(shè)a=3x，b=4x，c=5x，那么a+b=7x=c+4=5x+4
x=2．所以a=6，b=8，c=10．
設(shè)DE=m，根據(jù)DE∥BC，得：

AD

EC

=

AB

BC

，根據(jù)DE=BD，AD=AB-BD=AB-DE，那么

AE

AC

=

DE

BC

，m=

15

4

；
由

AE

AC

=

DE

BC

，即

AE

8

=

m

6

，AE=5，
答：AE的長為5．