(2002•杭州)如圖,⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)C,⊙O1與⊙O2的連心線與外公切線相交于點(diǎn)P,外公切線與兩圓的切點(diǎn)分別為A、B,且AC=4,BC=5.
(1)求線段AB的長(zhǎng);
(2)證明:PC2=PA•PB.

【答案】分析:(1)由題意可知AO1和BO2平行,根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ),可知∠AO1O2+∠BO2O1=180°,根據(jù)兩個(gè)三角形內(nèi)角和為360°,且O1A=O1C,O2B=O2C,可知∠ACO1+∠BCO2=90°,然后根據(jù)勾股定理求出AB;
(2)證明PC2=PA•PB,即證△PAC∽△PCB,而在這兩個(gè)三角形中已經(jīng)有一個(gè)公共角∠P,只需再找一組角即可,根據(jù)(1)可得等角的余角相等,可知∠PCA=∠PBC,即可知相似,然后得出等積式.
解答:(1)解:PAB切⊙O1與⊙O2與A、B,
∴AO1⊥PA,BO2⊥PB
∴AO1∥BO2
∴∠AO1O2+∠BO2O1=180°
又在△AO1C和△BO2C中,內(nèi)角和為360°
∴∠O1AC+∠O1CA+∠O2BC+∠O2CB=180°
∵O1A=O1C,O2B=O2C
∴∠O1AC=∠O1CA,∠O2BC=∠O2CB
∴∠ACO1+∠BCO2=90°
∴∠ACB=90°
∴在RT△ABC中,AB=

(2)證明:由(1),知∠ACO1+∠BCO2=90°
而∠O2BC=∠O2CB,且∠O2BC+∠CBA=90°
∴∠PCA=∠PBC
又∠P為公共角
∴△PAC∽△PCB

即PC2=PA•PB.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的判定、以及比例式和等積式之間的轉(zhuǎn)換,難易程度適中.
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(2)證明:PC2=PA•PB.

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(2002•杭州)如圖所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,則PD等于( )

A.4
B.3
C.2
D.1

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