Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，若∠A=90°，AD=CD=6，將一等腰直角三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，將此三角板繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角板的兩邊分別交AD邊于Q，交直線(xiàn)AB于P，若PQ=5，則AP的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：作CE⊥AB，F(xiàn)C⊥QC，CE、CF交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F，如圖，證明△QEC≌△FEC和△QCP≌△FCP，則可得QD=FE，QP=PF，設(shè)AP=x，用x表示出QD、PE，列出方程，解答出即可．

解答：解：如圖，作CE⊥AB，F(xiàn)C⊥QC，CE、CF交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F，
∴∠QCF=90°，∠PCF=45°，
∵∠A=90°，AD=CD=6，
∴四邊形AECD是正方形，
∵∠QCP=45°，
∴∠QCD+∠PCE=∠PCE+∠FCE=45°，
∴∠QCD=∠FCE，
又∵DC=ED，∠QDC=∠FEC=90°，
∴△QEC≌△FEC，
∴QC=FC，QD=FE，
又∵CP=CP，
∴△QCP≌△FCP（SAS），
∴PQ=PF=5，
設(shè)AP=x，則PE=6-x，AQ=

52-x2

，DQ=6-

52-x2

，
∵PF=PE+EF，
∴5=6-x+（6-

52-x2

），
解得，x=3或x=4．
故答案為：3或4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，作輔助線(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)建全等三角形，是解答本題的思路．