Question

已知：拋物線y=x²-（2a+1）x+2a
（Ⅰ）當(dāng)拋物線經(jīng)過點（3，2）時，①求x的值；②求拋物線與x軸交點的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若拋物線與x軸有兩個不同交點，且分別位于點（2，0）的兩旁，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若拋物線不經(jīng)過第三象限，且當(dāng)x＞2時，函數(shù)值x隨x的增大而增大，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①把點（3，2）代入求出即可；②把a(bǔ)=1代入y=x²-3x+2得到方程求出方程的解即可；
（Ⅱ）根據(jù)拋物線y=x²-（2a+1）x+2a與x軸的兩個不同交點，求出△=（2a-1）²＞0．得出a≠

1

2

，根據(jù)拋物線y=x²-（2a+1）x+2a與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁，
且拋物線開口向上，得出2²-（2a+1）×2+2a＜0，求出即可；
（Ⅲ）由已知得到-

-(2a+1)

2

≤2，求出a≤

3

2

．根據(jù)拋物線開口向上，且不經(jīng)過第三象限，得出-

-(2a+1)

2

≥0，且2a≥0，求出不等式的解即可．

解答：解：（Ⅰ）①把點（3，2）代入y=x²-（2a+1）x+2a得：2=3²-（2a+1）×3+2a，
∴a=1，
答：a的值是1．

解：②把a(bǔ)=1代入y=x²-3x+2得：x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴拋物線與x交點的坐標(biāo)是（1，0），（2，0），
答：拋物線與x交點的坐標(biāo)是（1，0），（2，0）．

解：（Ⅱ）∵拋物線y=x²-（2a+1）x+2a與x軸的兩個不同交點，
∴△=[-（2a+1）]²-4×1×2a=（2a-1）²＞0．
∴a≠

1

2

，
∵拋物線y=x²-（2a+1）x+2a與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁，
且拋物線開口向上，
∴2²-（2a+1）×2+2a＜0，
解得：a＞1，
答：實數(shù)a的取值范圍是a＞1．

（Ⅲ）解：∵當(dāng)x＞2時，拋物線滿足y隨x的增大而增大，
∴-

-(2a+1)

2

≤2，
解得a≤

3

2

．
∵拋物線開口向上，且不經(jīng)過第三象限，
∴-

-(2a+1)

2

≥0，且2a≥0，
解得a≥0，
∴0≤a≤

3

2

，
答：實數(shù)a的取值范圍是0≤a≤

3

2

．

點評：本題主要考查對拋物線與X軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元一次不等式，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識點的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．