Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高．
（1）求證：AE=GF；
（2）設(shè)AE=1，求四邊形DEGF的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD為等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．
由已知AE⊥BD，
∴AE∥DC．
又∵AE為等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中點(diǎn)，
∵F是DC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∴AE=DF
∵F是DC的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高，
∴GF=DF，
∴AE=GF．

（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=1，
∴AD=2．
在Rt△DGC中∠C=60°，
并且DC=AD=2，
∴DG=．
由（1）知：在平行四邊形AEFD中EF=AD=2，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF，
∴四邊形DEGF的面積=EF•DG=．
分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)（三線合一），可得BE=DE，又由F是CD的中點(diǎn)，可得EF是△DBC的中位線，易得四邊形AEFD是平行四邊形，即可證得AE=DF=CF；
（2）由（1）可知：EF⊥DG，所以四邊形DEGF的面積=EF•DG；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求得EF與DG的長(zhǎng)，即可求得四邊形的面積．
點(diǎn)評(píng)：（1）考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)．此題比較復(fù)雜，解題時(shí)要注意仔細(xì)識(shí)圖；
（2）此題考查了直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，解題時(shí)要注意對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的求法：對(duì)角線積的一半．