設(shè)m是不小于-1的實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2,
(1)若x12+x22=6,求m值;
(2)求
mx12
1-x1
+
mx22
1-x2
的最大值.
分析:(1)首先根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求出符合條件的m的值.
(2)把利用根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系式代入代數(shù)式,細(xì)心化簡(jiǎn),結(jié)合m的取值范圍求出代數(shù)式的最大值.
解答:解:∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=b2-4ac=4(m-2)2-4(m2-3m+3)=-4m+4>0,
∴m<1,
結(jié)合題意知:-1≤m<1.
(1)∵x12+x22=(x1+x22-2x1x2=4(m-2)2-2(m2-3m+3)=2m2-10m+10=6
m=
17
2
,
∵-1≤m<1,
m=
5-
17
2
;

(2)
mx12
1-x1
+
mx22
1-x2
=
m[x12+x22-x1x2(x1+x2)]
(1-x1)(1-x2)
=
m(2m3-8m2+8m-2)
m2-m

=
2m(m-1)(m2-3m+1)
m(m-1)
=2(m2-3m+1)=2(m-
3
2
)2-
5
2
(-1≤m<1).
∴當(dāng)m=-1時(shí),式子取最大值為10.
點(diǎn)評(píng):本題的計(jì)算量比較大,需要很細(xì)心的求解.用到一元二次方程的根的判別式△=b2-4ac來(lái)求出m的取值范圍;利用根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a
來(lái)化簡(jiǎn)代數(shù)式的值.
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(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo),并說(shuō)明C點(diǎn)在什么樣的線上運(yùn)動(dòng);
(2)若OA2+OB2=6,求m值;
(3)求代數(shù)式
mx12
1-x1
+
mx22
1-x2
的最大值.

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