Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC，BD分別和⊙O相切于點(diǎn)A，B，點(diǎn)E為圓上不與A，B重合的點(diǎn)，過點(diǎn)E作⊙O的切線分別交AC，BD于點(diǎn)C，D，連接OC，OD分別交AE，BE于點(diǎn)M，N．
（1）若AC=4，BD=9，求⊙O的半徑及弦AE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判定四邊形OMEN的形狀，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，連接OE，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，可證：四邊形ABFC為矩形，根據(jù)切線的性質(zhì)和AC，BD的長(zhǎng)可知CD和FD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可將CF即⊙O的直徑求出，進(jìn)而可將⊙O的半徑求出；在Rt△OAC中，根據(jù)OA和AC的長(zhǎng)，可將AM的長(zhǎng)求出，進(jìn)而可將AE的長(zhǎng)求出；
（2）由（1）知：OC垂直平分AE，同理，OD垂直平分BE，由AB為直徑，可知：∠AEB=90°，故四邊形OMEN為矩形，當(dāng)OE⊥AB時(shí)，可證：矩形OMEN為正方形．
解答：解：（1）∵AC，BD，CD分別切⊙O于A，B，E，AC=4，BD=9，
∴CE=AC=4，DE=BD=9，
∴CD=13，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BAC=∠ABD=90°；
過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，則四邊形ABFC是矩形，
∴FD=5，CF==12，
∴AB=12，
∴⊙O的半徑為6．
連接OE．
∵CA=CE，OA=OE，
∴OC垂直平分弦AE，
∵OC=，
∴AM=，
∴AE=2AM=；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由（1）知OC垂直平分AE，同理，OD垂直平分BE，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴四邊形OMEN為矩形；
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E滿足OE⊥AB時(shí)，
∵OA=OE，
∴∠OEA=45°，
∴MO=ME，
∴矩形OMEN為正方形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)及正方形的判定定理．