Question

如圖，在?ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE=

1

2

CD，BE與AD交于點(diǎn)F．
（1）求證：AF=2FD；
（2）若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）可證明△ABF∽△DEF，

AF

FD

=

AB

DE

，再由DE=

1

2

CD，AB=CD，可得出結(jié)論；
（2）由（1）得△ABF∽△DEF，則S_△ABF：S_△DEF=（AF：AD）²，還可證明△EFD∽△EBC，則S_△EFD：S_△EBC=（ED：EC）²，根據(jù)△DEF的面積為2，從而得出S_△ABF和S_{四邊形BCDF}，再相加即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD
∴∠ABF=∠E，∠A=∠FDE
∴△ABF∽△DEF…（2分）
∴

AF

FD

=

AB

DE

．
∵DE=

1

2

CD，AB=CD
∴DE=

1

2

AB．…（3分）
∴

AF

FD

=

AB

DE

=2．
∴AF=2FD…（4分）

（2）解：∵△ABF∽△DEF，
∴

S△ABF

S△DEF

=(

AF

FD

)2=4，
又∵△DEF的面積為2，
∴S_△ABF=8…（6分），
∵DE=

1

2

CD，
∴

DE

EC

=

1

3

，
∵AD∥BC，
∴∠EFD=∠EBC，∠EDF=∠C，
∴△EFD∽△EBC，
∴

S△EFD

S△EBC

=(

ED

EC

)2=

1

9

，
又∵△DEF的面積為2，
∴S_△EBC=18…（8分），
∴S_{四邊形BCDF}=S_△EBC-S_△EFD=18-2=16…（9分），
∴S_□ABCD=S_{四邊形BCDF}+S_△ABF=16+8=24…（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定以及三角形的面積，是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．