Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，

（1）若P是BC邊上的中點，連結AP，求證：BP×CP=AB²一AP²；

（2）若P是BC邊上任意一點，上面的結論還成立嗎?若成立，請證明，若不成立，請說明理由；

（3）若P是BC邊延長線上一點，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關系?請證明你的結論？

 

Answer 1

【答案】

（1）先連接AP，由于AB=AC，P是BC中點，利用等腰三角形三線合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB²=BP²+AP²，即AB²-AP²=BP²，而BP=CP，易得BP?CP=BP²，那么此題得證；（2）成立；（3）AP²-AB²=BP?CP．

【解析】

試題分析：（1）先連接AP，由于AB=AC，P是BC中點，利用等腰三角形三線合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB²=BP²+AP²，即AB²-AP²=BP²，而BP=CP，易得BP?CP=BP²，那么此題得證；

（2）成立．連接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三線合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB²=AD²+BD²，同理有AP²=AD²+DP²，易求AB²-AP²的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BP?CP，從而可證AB²-AP²=BP?CP；

（3）AP²-AB²=BP?CP．連接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三線合一定理可知

BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分別表示AP²、AB²，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，

易求BP?CP的值，從而可證AP²-AB²=BP?CP．

（1）連接AP

∵AB=AC，P是BC中點，

∴AP⊥BC，BP=CP， 

在Rt△ABP中，AB²=BP²+AP²，

∴AB²-AP²=BP²，

又∵BP=CP，

∴BP?CP=BP²，

∴AB²-AP²=BP?CP；

（2）成立．

如右圖所示，連接AP，作AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD， 

在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，

同理，AP²=AD²+DP²，

∴AB²-AP²=AD²+BD²-（AD²+DP²）=BD²-DP²，

又∵BP=BD+DP，CP=CD-DP=BD-DP，

∴BP?CP=（BD+DP）（BD-DP）=BD²-DP²，

∴AB²-AP²=BP?CP；

（3）AP²-AB²=BP?CP．

如右圖，P是BC延長線任一點，連接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，

在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²，

∴AP²-AB²=（AD²+BD²）-（AD²+DP²）=PD²-BD²，

又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，

∴BP?CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP²-BD²，

∴AP²-AB²=BP?CP．

考點：等腰三角形的性質、勾股定理

點評：本題綜合性強，難度較大，用BD、DP的和差來表示BP和CP是解題的關鍵.