【題目】如圖1,四根長度一定的木條,其中AB=6cm,CD=15cm,將這四根木條用小釘絞合在一起,構(gòu)成一個(gè)四邊形ABCD(在A、B、C、D四點(diǎn)處是可以活動(dòng)的).現(xiàn)固定AB邊不動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形,使它的形狀改變,在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中有以下兩個(gè)特殊位置.
位置一:當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí),點(diǎn)C在線段AD上(如圖2);
位置二:當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長線上時(shí),∠C=90°.
(1)在圖2中,若設(shè)BC的長為,請(qǐng)用含的代數(shù)式表示AD的長;
(2)在圖3中畫出位置二的示意圖
(3)利用圖2、圖3求圖1的四邊形ABCD中BC、AD邊的長度.
【答案】(1)x+9;(2)見解析;(3)30,39.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變量在圖2中表示出AD的長即可;(2)根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出圖形即可;(3)根據(jù)題目中的所求表示出AD的長,利用勾股定理得到關(guān)于x的方程解得x的值即可.
(1)∵在四邊形ABCD的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,BC、AD邊的長度始終保持不變,BC=x,
∴在圖2中,AC=BCAB=x6,AD=AC+CD=x+9.
(2)∴位置二的圖見圖3.
(3)∵在四邊形ABCD轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中,BC、AD邊的長度始終保持不變,
∴在圖3中,BC=x,AC=AB+BC=6+x,AD=x+9,
∵圖3中,△ACD為直角三角形,∠C=90,
由勾股定理得:AC2+CD2=AD2,
∴(6+x)2+152=(x+9)2,
整理,得6x=180,
解得x=30,
即BC=30,
∴AD=39.
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【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AD上.
(1)求證:BE=CE;
(2)如圖2,若BE的延長線交AC于點(diǎn)F,且BF⊥AC,垂足為F,∠BAC=45°,原題設(shè)其它條件不變.求證:△AEF≌△BCF.
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【題目】如圖1,在等腰梯形ABCD中,∠B=60°,P、Q同時(shí)從B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度分別沿B→A→D→C和B→C→D方向運(yùn)動(dòng)至相遇時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),△BPQ的面積為S(平方單位),S與t的函數(shù)圖象如圖2,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.當(dāng)t=4秒時(shí),S=4
B.AD=4
C.當(dāng)4≤t≤8時(shí),S=2 t
D.當(dāng)t=9秒時(shí),BP平分梯形ABCD的面積
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【題目】如圖,△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形,P為BC延長線上一點(diǎn),∠PAC=∠B,AD為⊙O的直徑,過C作CG⊥AD交AD于E,交AB于F,交⊙O于G.
(1)判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:AG2=AFAB;
(3)若⊙O的直徑為10,AC=2 ,AB=4 ,求△AFG的面積.
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【題目】探究:如圖,分別以△ABC的兩邊AB和AC為邊向外作正方形ABMN和正方形ACDE,CN、BE交于點(diǎn)P. 求證:∠ANC = ∠ABE.
應(yīng)用:Q是線段BC的中點(diǎn),連結(jié)PQ. 若BC = 6,則PQ = ___________.
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【題目】湖州某企業(yè)新增了一個(gè)化工項(xiàng)目,為了節(jié)約資源,保護(hù)環(huán)境,該企業(yè)決定購買A、B兩種型號(hào)的污水處理設(shè)備共10臺(tái),具體情況如下表:
A型 | B型 | |
價(jià)格(萬元/臺(tái)) | 15 | 12 |
月污水處理能力(噸/月) | 250 | 200 |
經(jīng)預(yù)算,企業(yè)最多支出136萬元購買設(shè)備,且要求月處理污水能力不低于2150噸.
(1)該企業(yè)有哪幾種購買方案?
(2)哪種方案更省錢?并說明理由.
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【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,延長CB至點(diǎn)F,使CF=CA,連接AF,∠ACF的平分線分別交AF,AB,BD于點(diǎn)E,N,M,連接EO.
(1)已知BD= ,求正方形ABCD的邊長;
(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
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