Question

設(shè)k是任意實(shí)數(shù)，討論關(guān)于x的方程|x²-1|=x+k的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：先根據(jù)x的范圍去絕對值，（1）當(dāng)x＞或x＜-1，方程變?yōu)閤²-x=1+k，要求方程解的個(gè)數(shù)就是要二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可求出二次函數(shù)y=x²-x的頂點(diǎn)（

1

2

，-

1

4

），且過（0，0），（1，0）兩點(diǎn)，則當(dāng)1+k＞0，原方程無實(shí)根；當(dāng)-

1

4

＜1+k≤0，原方程有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)1+k=-

1

4

，原方程有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)1+k＜-

1

4

，原方程無實(shí)根．（2）當(dāng)-1≤x≤1，方程變?yōu)閤²+x=1-k，和（1）的解法一樣求出k的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)x＞或x＜-1，方程變?yōu)閤²-x=1+k，則方程解的個(gè)數(shù)就是二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
二次函數(shù)y=x²-x的頂點(diǎn)（

1

2

，-

1

4

），且過（0，0），（1，0）兩點(diǎn)．
當(dāng)1+k＞0，即k＞-1，二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k在所在范圍無交點(diǎn)，所以原方程無實(shí)根；
當(dāng)-

1

4

＜1+k≤0，即-

5

4

＜k≤-1，二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k在所在范圍有兩個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有兩個(gè)實(shí)根；
當(dāng)1+k=-

1

4

，即k=-

5

4

，二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k在所在范圍有一個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有一個(gè)實(shí)根；
當(dāng)1+k＜-

1

4

，即k＜-

5

4

，二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k無交點(diǎn)，所以原方程無實(shí)根．

（2）當(dāng)-1≤x≤1，方程變?yōu)閤²+x=1-k，則方程解的個(gè)數(shù)就是二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
二次函數(shù)y=x²+x的頂點(diǎn)（-

1

2

，-

1

4

），且過（0，0），（-1，0）兩點(diǎn)．
當(dāng)1-k＞0，即k＜1，二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k在所在范圍無交點(diǎn)，所以原方程無實(shí)根；
當(dāng)-

1

4

＜1-k≤0，即1≤k＜

5

4

，二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k有兩個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有兩個(gè)實(shí)根；
當(dāng)1-k=-

1

4

，即k=

5

4

，二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k有一個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有一個(gè)實(shí)根；
當(dāng)1-k＜-

1

4

，即k＞

5

4

，二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k沒有交點(diǎn)，所以原方程無實(shí)根．
所以當(dāng)k＜-

5

4

或-1＜k＜1或k＞

5

4

時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)k=-

5

4

或k=

5

4

時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)-

5

4

＜k≤-1或1≤k＜

5

4

時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：本題考查了利用函數(shù)圖象求方程解的方法，把求方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．同時(shí)也考查了分類討論的思想的運(yùn)用．