Question

設(shè)k是任意實數(shù)，討論關(guān)于x的方程|x²-1|=x+k的解的個數(shù)．

Answer 1

分析：先根據(jù)x的范圍去絕對值，（1）當(dāng)x＞或x＜-1，方程變?yōu)閤²-x=1+k，要求方程解的個數(shù)就是要二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k的交點個數(shù)，可求出二次函數(shù)y=x²-x的頂點（

1

2

，-

1

4

），且過（0，0），（1，0）兩點，則當(dāng)1+k＞0，原方程無實根；當(dāng)-

1

4

＜1+k≤0，原方程有兩個實根；當(dāng)1+k=-

1

4

，原方程有一個實根；當(dāng)1+k＜-

1

4

，原方程無實根．（2）當(dāng)-1≤x≤1，方程變?yōu)閤²+x=1-k，和（1）的解法一樣求出k的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)x＞或x＜-1，方程變?yōu)閤²-x=1+k，則方程解的個數(shù)就是二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k的交點個數(shù)，
二次函數(shù)y=x²-x的頂點（

1

2

，-

1

4

），且過（0，0），（1，0）兩點．
當(dāng)1+k＞0，即k＞-1，二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k在所在范圍無交點，所以原方程無實根；
當(dāng)-

1

4

＜1+k≤0，即-

5

4

＜k≤-1，二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k在所在范圍有兩個交點，所以原方程有兩個實根；
當(dāng)1+k=-

1

4

，即k=-

5

4

，二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k在所在范圍有一個交點，所以原方程有一個實根；
當(dāng)1+k＜-

1

4

，即k＜-

5

4

，二次函數(shù)y=x²-x與直線y=1+k無交點，所以原方程無實根．

（2）當(dāng)-1≤x≤1，方程變?yōu)閤²+x=1-k，則方程解的個數(shù)就是二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k的交點個數(shù)，
二次函數(shù)y=x²+x的頂點（-

1

2

，-

1

4

），且過（0，0），（-1，0）兩點．
當(dāng)1-k＞0，即k＜1，二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k在所在范圍無交點，所以原方程無實根；
當(dāng)-

1

4

＜1-k≤0，即1≤k＜

5

4

，二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k有兩個交點，所以原方程有兩個實根；
當(dāng)1-k=-

1

4

，即k=

5

4

，二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k有一個交點，所以原方程有一個實根；
當(dāng)1-k＜-

1

4

，即k＞

5

4

，二次函數(shù)y=x²+x與直線y=1-k沒有交點，所以原方程無實根．
所以當(dāng)k＜-

5

4

或-1＜k＜1或k＞

5

4

時，原方程沒有實數(shù)根；當(dāng)k=-

5

4

或k=

5

4

時，原方程只有一個實數(shù)根；當(dāng)-

5

4

＜k≤-1或1≤k＜

5

4

時，原方程有兩個實數(shù)根．

點評：本題考查了利用函數(shù)圖象求方程解的方法，把求方程的解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點的個數(shù)．同時也考查了分類討論的思想的運用．