(2007•隨州)如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線AD上,過P作PF⊥AE于F.
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動時,設(shè)PA=x,是否存在實(shí)數(shù)x,使以P,F(xiàn),E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似?若存在,請求出x的值;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)在△PFA與△ABE中,易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°;故可得△PFA∽△ABE;
(2)根據(jù)題意:若△EFP∽△ABE,則∠PEF=∠EAB;必須有PE∥AB;分兩種情況進(jìn)而列出關(guān)系式.
解答:(1)證明:∵AD∥BC,
∴∠PAF=∠AEB.
∵∠PFA=∠ABE=90°,
∴△PFA∽△ABE.

(2)解:若△EFP∽△ABE,則∠PEF=∠EAB.
∴PE∥AB.
∴四邊形ABEP為矩形.
∴PA=EB=2,即x=2.
若△PFE∽△ABE,則∠PEF=∠AEB.
∵∠PAF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE,
∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn).
∵AE==2,
∴EF=AE=
,即,
∴PE=5,即x=5.
∴滿足條件的x的值為2或5.
點(diǎn)評:解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用,搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系,可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率.
練習(xí)冊系列答案
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(1)直接寫出E,F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直角梯形OEFG的腰EF所在直線的解析式;
(2)將圖1中的直角梯形ABCD先沿x軸向右平移到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合的位置,再讓直角頂點(diǎn)A緊貼著EF,向上平移直角梯形ABCD(即梯形ABCD向上移動時,總保持著AB∥FG),當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時,梯形ABCD停止移動.觀察得知:在梯形ABCD移動過程中,其腰BC始終經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.(如圖2)
①設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),梯形ABCD與梯形OEFG重合部分的面積為S,試求a與何值時,S的值恰好等于梯形OEFG面積的;
②當(dāng)點(diǎn)A在EF上滑動時,設(shè)AD與x軸的交點(diǎn)為M,試問:在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PAM是底角為30°的等腰三角形?如果存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.(利用圖3進(jìn)行探索)

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(1)直接寫出E,F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直角梯形OEFG的腰EF所在直線的解析式;
(2)將圖1中的直角梯形ABCD先沿x軸向右平移到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合的位置,再讓直角頂點(diǎn)A緊貼著EF,向上平移直角梯形ABCD(即梯形ABCD向上移動時,總保持著AB∥FG),當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時,梯形ABCD停止移動.觀察得知:在梯形ABCD移動過程中,其腰BC始終經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.(如圖2)
①設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),梯形ABCD與梯形OEFG重合部分的面積為S,試求a與何值時,S的值恰好等于梯形OEFG面積的;
②當(dāng)點(diǎn)A在EF上滑動時,設(shè)AD與x軸的交點(diǎn)為M,試問:在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PAM是底角為30°的等腰三角形?如果存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.(利用圖3進(jìn)行探索)

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