已知△ABC和△ADE分別是以AB.AE為底的等腰直角三角形,以CE,CB為邊作平行四邊形CEHB,連DC,CH.
(1)如圖1,當(dāng)D點(diǎn)在AB上時(shí),則∠DEH的度數(shù)為_(kāi)_____;CH與CD的數(shù)量關(guān)系是______
【答案】
分析:(1)連DH,由△ABC和△ADE是等腰直角三角形,四邊形CEHB為平行四邊形,得到∠AED=45°,∠AEH=∠ACB=90°,則∠DEH=45°,易證得△DAC≌△DEH,則DH=DC,∠ADC=∠EDH,得到∠ADE=∠CDH=90°,所以△DHC為等腰直角三角形,得到
CH=
DC.
(2)由旋轉(zhuǎn)得到∠CAE=45°,則∠DEA=45°,DE∥AC,得到∠DEH=90°,易得Rt△ADC≌Rt△EDH,所以DC=DH,即△DHC為等腰直角三角形,得到CH=
CD.
(3)由旋轉(zhuǎn)得到∠DAC=45°-α,而∠DEH=90°-45°-α=45°-α,則∠DAC=∠DEH,易證△DAC≌△DEH,得到DC=DH,∠ADC=∠EDH,所以∠ADE=∠CDH=90°,得到HC=
CD.
解答:解:(1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,四邊形CEHB為平行四邊形
∴∠AED=45°,∠AEH=∠ACB=90°,
∴∠DEH=45°,連DH,如圖1,
∵∠DEH=90°-∠DEA=45°,
∴∠A=∠DEH,
∵AD=ED,AC=CB=EH,
∴△DAC≌△DEH,
∴DH=DC,∠ADC=∠EDH,
∴∠ADE=∠CDH=90°,
∴△DHC為等腰直角三角形,
∴CH=
DC.
(2)∵圖1中的△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,
∴∠CAE=45°,
∴DE∥AC,
∵BC∥HE,∠ACB=90°,
∴∠DEH=90°,
又∵DA=DE,AC=BC=EH,
∴Rt△ADC≌Rt△EDH,
∴DC=DH,即△DHC為等腰直角三角形,
∴CH=
CD.
(3)CH=
CD;
連DH、CD、CH,如圖3,
∵圖1中的△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(O°<α<45°)得圖3,
∴∠DAC=45°-α,
∵CB∥HE,
∴∠AME=∠ACB=90°,
∵∠1=∠2,∠ADE=∠AME=90°,
∴∠DEH=∠DAM=45°-α,
∵∠DEH=90°-45°-α=45°-α,
∴∠DAC=∠DEH,
∵DA=ED,CA=CB=EH,
∴△DAC≌△DEH,
∴DC=DH,∠ADC=∠EDH,
∴∠ADE=∠CDH=90°,
∴HC=
CD.
故答案為:45°,CH=
CD;90°,CH=
CD.
點(diǎn)評(píng):本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了三角形全等的判定與旋轉(zhuǎn)以及平行四邊形的性質(zhì).