Question

如圖，由矩形ABCD的頂點D引一條直線分別交BC及AB的延長線于F，G，連接AF并延長交△BGF的外接圓于H，連接GH，BH．
（1）求證：△DFA∽△HBG；
（2）過A點引圓的切線AE，E為切點，AE=3

3

，CF：FB=1：2，求AB的長；
（3）在（2）的條件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理的推論可以證明三角形中的兩個角對應(yīng)相等，從而證明三角形相似；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AB和BG的比，再根據(jù)切割線定理列方程求解；
（3）根據(jù)勾股定理以及上述結(jié)論求得有關(guān)的邊沒再根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，發(fā)現(xiàn)FG是直徑，根據(jù)圓周角定理的推論把要求的角轉(zhuǎn)換到直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解．

解答：證明：（1）∵∠HBG=∠HFG，∠HFG=∠AFD，
∴∠HBG=∠AFD．
∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG，
∴△DFA∽△HBG．（4分）

（2）∵CD∥AB，CD=AB，
∴

AB

BG

=

1

2

，

AB

AG

=

1

3

．
即AG=3AB．
∵AE為⊙O的切線，
∴AE²=AB•AG．
∴AB=3．（8分）

（3）∵AD=BC=6，CF：FB=1：2，
∴CF=2，BF=4．
∵∠ABC=90°，
∴AF=

AB2+BF2

=5．
∵AE²=AF•AH，
∴AH=

AE2

AF

=

27

5

FH=AH-AF=

2

5

．
∴FH=AH-AF=

2

5

．
∵∠FBG=90°，F(xiàn)G=2

13

，
∵FG為圓的直徑，
∴HG=

FG2-FH2

=

36

5

．
∴tan∠HBG=18．（12分）

點評：綜合運用了圓周角定理的推論、相似三角形的判定、平行線分線段成比例定理以及勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念．