Question

已知拋物線上有不同的兩點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F？

Answer 1

【答案】分析：（1）求拋物線的解析式關(guān)鍵是求出b的值，根據(jù)E、F的坐標(biāo)可發(fā)現(xiàn)，E、F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，由此可求出拋物線的對稱軸方程，進(jìn)而可求出b的值及拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出A、B的坐標(biāo)，可得到∠OAB=∠OBA=∠PMQ=45°，可證△BCM∽△AMD，根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出m、n的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將點F的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出F點的坐標(biāo)，進(jìn)而可由待定系數(shù)法求出直線MF的解析式，然后根據(jù)直線MF與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)求出m、n的值．（需注意的是此題要分MP、MQ過F的兩種不同情況分類討論）
解答：解：（1）拋物線的對稱軸為；（1分）
∵拋物線上不同兩個點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的縱坐標(biāo)相同，
∴點E和點F關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則，且k≠-2；
∴拋物線的解析式為；（2分）


（2）拋物線與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），
∴AB=，AM=BM=；（3分）
在∠PMQ繞點M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；（4分）
∴，即，；
故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為（m＞0）；（5分）

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在上，
∴將F代入函數(shù)解析式得：，
化簡得，k²-4k+3=0，∴k₁=1，k₂=3；
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8）；（6分）
①MF過M（2，2）和F₁（-2，0），設(shè)MF為y=kx+b，
則，解得；
∴直線MF的解析式為；
直線MF與x軸交點為（-2，0），與y軸交點為（0，1）；
若MP過點F（-2，0），則n₁=4-1=3，m₁=；
若MQ過點F（-2，0），則m₂=4-（-2）=6，n₂=；（7分）
②MF過M（2，2）和F₂（-4，-8），設(shè)MF為y=kx+b，
則，解得；
∴直線MF的解析式為；
直線MF與x軸交點為（，0），與y軸交點為（0，）；
若MP過點F（-4，-8），則n₃=4-（）=，m₃=；
若MQ過點F（-4，-8），則m₄=4-=，n₄=；（8分）
故當(dāng)，，或時，∠PMQ的邊過點F．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的求法等知識，需注意的是（3）題中，MP、MQ都有可能經(jīng)過F點，要分類討論，以免漏解．