Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：
（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2，如圖3情形．請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4-6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第（1）題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說明理由；

（3）在第（2）題圖5中，連接DG、BE，且a=3，b=2，k=

1

2

，求BE²+DG²的值．

Answer 1

分析：（1）四邊形ABCD是正方形推出△BCG≌△DCE．然后得出∠DOH=90°，推出BG⊥DE．
（2）依題意得出AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka的線段比例，然后再推出∠CDE+∠DHO=90°即可．
（3）依題意得出BE²+DG²=BD²+GE²，從而可求解．

解答：解：（1）①BG=DE，
BG⊥DE．
②BG=DE，
BG⊥DE仍然成立．
在圖（2）中證明如下
∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE（1分），
∵在△BCG與△DCE中，

BC=CD ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．

（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立．
簡(jiǎn)要說明如下：
∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是矩形，
且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0），
∴

BC

DC

=

CG

CE

=

b

a

，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE．


（3）∵BG⊥DE，
∴OB²+OD²=BD²，OE²+OG²=GE²，OB²+OE²=BE²，OG²+OD²=DG²，
∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，
又∵a=3，b=2，k=

1

2

，
∴BD2+GE2=22+32+12+(

3

2

)2=

65

4

，
∴BE2+DG2=

65

4

．

點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，利用勾股定理求解，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．