(2009•婁底)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.
(1)探究m滿足什么條件時(shí),二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)設(shè)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,與y軸的交點(diǎn)為C,它的頂點(diǎn)為M,求直線CM的解析式.
【答案】分析:(1)由△=b2-4ac可寫出用m表示的△關(guān)系式,分別討論m在取不同的值時(shí)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可把x12+x22轉(zhuǎn)換為m的表達(dá)式,由此可得方程2m2-10m-7=5,求出m的值可得二次函數(shù)解析式;則根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可求出頂點(diǎn)M及與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo),使用代入法可求得直線CM的解析式.
解答:解:(1)令y=0,得:x2-(2m-1)x+m2+3m+4=0,
∴△=(2m-1)2-4(m2+3m+4)=-16m-15,
當(dāng)△>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即-16m-15>0,
∴m<-,
此時(shí)y的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)△=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即-16m-15=0,
∴m=-,
此時(shí),y的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)△<0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,即-16m-15<0,
∴m>-,
此時(shí)y的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).
∴當(dāng)m<-時(shí),y的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)m=-時(shí),y的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)m>-時(shí),y的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2m-1,x1x2=m2+3m+4,
∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=(2m-1)2-2(m2+3m+4)=2m2-10m-7,
∵x12+x22=5,
∴2m2-10m-7=5,
∴m2-5m-6=0,
解得:m1=6,m2=-1,
∵m<-,
∴m=-1,
∴y=x2+3x+2,
令x=0,得y=2,
∴二次函數(shù)y的圖象與y軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2),
又y=x2+3x+2=(x+2-
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-,-),
設(shè)過(guò)C(0,2)與M(-,-)的直線解析式為y=kx+b,
解得k=,b=2,
∴所求的解析式為y=x+2.
點(diǎn)評(píng):本題考查了一元二次方程中△的應(yīng)用,考查了學(xué)生分類討論問(wèn)題的能力;需注意靈活運(yùn)用一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系的求函數(shù)解析式;求函數(shù)解析式一般要用待定系數(shù)法.
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