Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E（0，1），如圖②，將△AEO沿x軸向左平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′。

（1）設(shè)AA′=m（m >0），試用含m的式子表示，并求出使取得最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)。

Answer 1

（1）①若0＜m＜2，如圖1，連接EE′，

∵點(diǎn)A（2，0），∴A′O=2－m。

在Rt△A′BO中，由，得

。

∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向左平移得到的，

∴EE′∥AA′，且EE′=AA′�！唷螧EE′=90°，EE′=m。

又∵點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E（0，1），∴BE=OB－OE=3。

∴在Rt△BE′E中，。

∴。

又∵，

∴當(dāng)m=1時(shí)，取得最小值，最小值為27，此時(shí)，點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（1，1）。

又∵點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E（0，1），∴BE=OB－OE=3。

∴在Rt△BE′E中，。

∴。

又∵，

∴當(dāng)m≥2時(shí)， 隨m的增大而增大，在m=2時(shí)，最小值為29，小于27。

綜上所述，，取得最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（1，1）。

【考點(diǎn)】平移問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)最值，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)。