Question

（2013•樂山模擬）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，-6），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，7），半徑為5．若P是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB與x軸交于點(diǎn)D，則△ABD面積的最大值是（　　）

• A．63
• B．31

  1

  2

• C．32
• D．30

Answer 1

分析：當(dāng)直線BP與圓相切時(shí)，△ABD的面積最大，易證△OBD∽△PBC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得OD的長(zhǎng)，則AD的長(zhǎng)度可以求得，最后利用三角形的面積公式即可求解．

解答：解：當(dāng)直線BP與圓相切時(shí)，△ABD的面積最大．
連接PC，則∠CPB=90°，
在直角△BCP中，BP=

BC2-PC2

=

132-52

=12．
∵∠CPB=90°．
∴∠DOB=∠CPB=90°
又∵∠DBP=∠CBP，
∴△OBD∽△PBC，
∴

OD

PC

=

OB

BP

=

6

12

=

1

2

，
∴OD=

1

2

PC=

5

2

．
∴AD=OD+OA=

5

2

+8=

21

2

，
∴S_△ABD=

1

2

AD•OB=

1

2

×

21

2

×6=31

1

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，理解△ADB的面積最大的條件是關(guān)鍵．