Question

如圖，在圓O中，直徑AB=10，C、D是上半圓

AB

上的兩個動點．弦AC與BD交于點E，則AE•AC+BE•BD=

 

．

Answer 1

分析：連接AD、BC構造出兩個直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，進行整式變形即可求解．

解答：解：連接BC，AD，
根據直徑所對的圓周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根據相交弦定理，得AE•CE=DE•EB
∴AE•AC+BE•BD=AC²-AC•CE+BD²-BD•DE
=100-BC²+100-AD²-AC•CE-BD•DE
=200-BE²+CE²-AE²+DE²-AC•CE-BD•DE
=200+（DE+BE）（DE-BE）+（CE+AE）（CE-AE）-AC•CE-BD•DE
=200+BD（DE-BE）+AC（CE-AE）-AC•CE-BD•DE
=200-AE•AC-BE•BD，
∴AE•AC+BE•BD=100．

點評：此題要熟練運用相交弦定理、勾股定理以及整式的變形整理．