Question

已知，直線AB∥CD
（1）如圖1，點(diǎn)E在直線BD的左側(cè)，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，點(diǎn)E在直線BD的左側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，點(diǎn)E在直線BD的右側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）題中∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系的猜想是否仍成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)寫出你的猜想，并證明．
 

Answer 1

分析：（1）首先過點(diǎn)E作EF∥AB，易證得∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，則可得∠ABE+∠CDE=∠BED．
（2）首先連接FE并延長，易得∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF，又由BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，以及（1）的結(jié)論，易證得∠BED=2∠BFD；
（3）由∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，以及BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE與∠BFD=∠ABF+∠CDF，即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．
證明：過點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，
∴∠BED=∠1+∠2=∠ABE+∠CDE；

（2）∠BED=2∠BFD．
證明：連接FE并延長，
∵∠BEG=∠BFE+∠EBF，∠DEG=∠DFE+∠EDF，
∴∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF，
∵BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，
∴∠ABE+∠CDE=2（∠EBF+∠EDF），
∵∠BED=∠ABE+∠CDE，
∴∠EBF+∠EDF=

1

2

∠BED，
∴∠BED=∠BFD+

1

2

∠BED，
∴∠BED=2∠BFD；

（3）2∠BFD+∠BED=360°．
∵BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，
∴∠ABF=

1

2

∠ABE，∠ADF=

1

2

∠CDE，
∴∠ABF+∠ADF=

1

2

（∠ABE+∠CDE），
∵∠BFD=∠ABF+∠CDF=

1

2

（∠ABE+∠CDE），
∴∠ABE+∠CDE=2∠BFD，
∵∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，
∴2∠BFD+∠BED=360°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．