Question

如圖，是一個棱長分別為2、3、4的長方體，一只蜘蛛在頂點A處，一只小昆蟲在頂點B處，則蜘蛛接近小昆蟲時所爬行的最短路線的長是（ ）

A．
B．7
C．
D．6

Answer 1

【答案】分析：首先將長方體沿AD，CD，EF，BF剪開，向左翻折，使面ADFE與面CDFB在同一個平面內(nèi)，連接AB或?qū)㈤L方體沿AD，AE，EG剪開，向上翻折，使面ADFE和面EFBG在同一個平面內(nèi)，連接AB．然后分別在Rt△ABC中與Rt△ABD中，利用勾股定理求得AB的長，比較即可求得需要爬行的最短路程．
解答：解：將長方體沿AD，CD，EF，BF剪開，向左翻折，使面ADFE與面CDFB在同一個平面內(nèi)，連接AB．（如圖1）
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=7，BC=DF=2．
由勾股定理，得AB²=BC²+AC²=2²+7²=53．
則AE=．
將長方體沿AD，AE，EG剪開，向上翻折，使面ADFE和面EFBG在同一個平面內(nèi)，連接AB．（如圖2）
在Rt△ABD中，AD=4，BD=2+3=5．
由勾股定理，得AB²=AD²+BD²=4²+5²=41．
∴AB=
將長方體沿AD，DF，BF剪開，向右翻折，使面ADCH和面CDFB在同一個平面內(nèi)，連接AB．（如圖3）
在Rt△ABH中，AH=3，BH=2+4=6．
由勾股定理，得AB²=AD²+BD²=3²+6²=45．
∴AB=3
∵＜3＜，
∴螞蟻需要爬行的最短路程是．
故選C．

點評：此題考查了最短路徑問題．解題的關鍵是將立體圖形展為平面圖形，利用勾股定理的知識求解．