Question

已知坐標(biāo)平面上的線段AB及點(diǎn)P，任取AB上一點(diǎn)Q，線段PQ長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到線段AB的距離，記作d（P→AB）．
（1）如圖所示，已知長(zhǎng)度為2個(gè)單位的線段MN在x軸上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），求點(diǎn)P（1，1）到線段MN的距離d（P→MN）；
（2）已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)G到線段DE：y=x（0≤x≤3）的距離d（G→DE）=，且點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，試求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），
根據(jù)定義可得PM就是點(diǎn)P到線段MN的距離．
∴d（P→MN）=1．

（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)作出線段DE：y=x（0≤x≤3），
∵點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)G在直線x=1上，設(shè)直線x=1交x軸于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)K．
①如圖，過點(diǎn)G₁作G₁F⊥DE于點(diǎn)F，則G₁F就是點(diǎn)G₁到線段DE的距離．
∵線段DE：y=x（0≤x≤3），
∴△G₁FK，△DHK均為等腰直角三角形，
∵d（G₁→DE）=，
∴KF=，由勾股定理得GK=2，
又∵KH=OH=1，
∴HG₁=3．
即G₁的縱坐標(biāo)為3；
②如圖，過點(diǎn)O作G₂O⊥OE交直線x=1于點(diǎn)G₂，由題意知△OHG₂為等腰直角三角形，
∵OH=1，
∴G₂O=．
∴點(diǎn)G₂同樣是滿足條件的點(diǎn)．
∴點(diǎn)G₂的縱坐標(biāo)為-1．
綜上，點(diǎn)G₂的縱坐標(biāo)為3或-1．
分析：（1）由M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），根據(jù)定義可得PM就是點(diǎn)P到線段MN的距離．
（2）首先可得點(diǎn)G在直線x=1上，設(shè)直線x=1交x軸于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)K．然后分別從①如圖，過點(diǎn)G₁作G₁F⊥DE于點(diǎn)F，②如圖，過點(diǎn)O作G₂O⊥OE交直線x=1于點(diǎn)G₂，去分析求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了點(diǎn)到直線的距離、等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．