Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，一元二次方程x²+b²x+20=0的兩實(shí)根為x₃、x₄，且x₂-x₃=x₁-x₄=3，求二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：先將x₂-x₃=x₁-x₄=3化簡為兩根之和的形式，再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：∵x₂-x₃=x₁-x₄=3
∴x₂-x₃=3，x₁-x₄=3
∴x₂-x₃+x₁-x₄=6即（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=6
∴（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=-b+b²=6，即b²-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x₂-x₃=x₁-x₄
∴|x₁-x₂|=|x₃-x₄|
即

(x1+x2)2-4x1x2

=

(x3+x4)2-4x3x4

∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x²+b²x+20=0有兩實(shí)根
∴△=b⁴-80≥0，
當(dāng)b=-2，c=2時，有y=x²-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
與x軸無交點(diǎn)，
∴b=-2不合題意舍去
則解析式為y=x²+3x+2，
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-

3

2

，-

1

4

)．

點(diǎn)評：要求熟悉二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系和坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)距離公式|x₁-x₂|，并熟練運(yùn)用．