Question

在一次課題學(xué)習(xí)中活動中，老師提出了如下一個問題：
點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P畫直線l分別交正方形的兩邊于點(diǎn)M、N，使點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)，這樣的直線能夠畫幾條？
經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出如下畫法：
如圖1，過點(diǎn)P畫PE⊥AB于E，在EB上取點(diǎn)M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l．
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）甲同學(xué)的畫法是否正確？請說明理由；
（2）在圖1中，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，請直接在圖1中畫出；
（3）如圖2，A₁，C₁分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點(diǎn)，且A₁C₁∥AD．當(dāng)點(diǎn)P在線段A₁C₁上時，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？
（4）如圖3，正方形ABCD邊界上的A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂，D₁，D₂都是所在邊的三等分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時，試討論，符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況．

Answer 1

分析：（1）利用△MPE∽△MNA中的成比例線段可知EM=2EA，所以MP：MN=2：3，即點(diǎn)P是線段MN的一個三等分點(diǎn)；
（2）由（1）中的證明過程可知，在EB上取M₁，使EM₁=

1

2

AE，直線M₁P就是滿足條件的直線，所以能畫出一條符合題目條件的直線；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段A₁C₁上，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知能夠畫出符合題目條件的直線有無數(shù)條；
（4）分情況討論．

解答：解：（1）甲同學(xué)的畫法正確；
∵PE∥AD，
∴△MPE∽△MNA，
∴

MP

MN

=

ME

MA

，
∵EM=2EA，
∴MP：MN=2：3，
∴點(diǎn)P是線段MN的一個三等分點(diǎn)．

（2）能畫出一個符合題目條件的直線，在EB上取M₁，使EM₁=

1

2

AE，直線M₁P就是滿足條件的直線，圖2；

（3）若點(diǎn)P在線段A₁C₁上，能夠畫出符合題目條件的直線無數(shù)條，圖3；

（4）若點(diǎn)P在A₁C₁，A₂C₂，B₁D₁，B₂D₂上時，可以畫出無數(shù)條符合條件的直線l；
當(dāng)點(diǎn)P在正方形A₀B₀C₀D₀內(nèi)部時，不存在這樣的直線l，使得點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABB₁D₁，CDD₂B₂，A₀D₀D₂D₁，B₀B₁B₂C₀內(nèi)部時，過點(diǎn)P可畫出兩條符合條件的直線l，使得點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評：主要考查了正方形的性質(zhì)和復(fù)雜作圖的運(yùn)用．掌握正方形的性質(zhì)并具備綜合分析的能力是解題的關(guān)鍵．