Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-

2

3

），且與y軸交于點(diǎn)C（0，2），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．
（1）求拋物線的解析式及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用頂點(diǎn)式得出y=a（x-4）²-

2

3

進(jìn)而求出a的值，進(jìn)而利用y=0，求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，連接CB交l于點(diǎn)P，則AP=BP，則AP+CP=BC的值最小，進(jìn)而利用勾股定理得出AP+CP的最小值．

解答：解：（1）由題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²-

2

3

（a≠0），
∵拋物線經(jīng)過（0，2）
∴a（0-4）²-

2

3

=2
解得：a=

1

6

∴y=

1

6

（x-4）²-

2

3

，
即：y=

1

6

x²-

4

3

x+2，
當(dāng)y=0時(shí)，

1

6

x²-

4

3

x+2=0
解得：x=2或x=6，
∴A（2，0），B（6，0）；

（2）存在，
如圖，由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸l為直線x=4，
因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，連接CB交l于點(diǎn)P，則AP=BP，
所以AP+CP=BC的值最小，
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2

10

，
∴AP+CP=BC=2

10

∴AP+CP的最小值為2

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及利用軸對(duì)稱求最小值問題，正確利用軸對(duì)稱得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．