Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=∠C，線段AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D．
（1）若AB=10，BC=6，求△BCD的周長(zhǎng)；
（2）若BD=BC，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）如圖，∵線段AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，
∴AD=BD，
又∵AB=AC，
∴△BCD的周長(zhǎng)是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=10+6=16，即△BCD的周長(zhǎng)是16；

（2）∵由（1）知，AD=BD，則∠A=∠ABD．
∴∠BDC=2∠A．
又∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=2∠A．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
∴∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，然后求出△BCD的周長(zhǎng)=AC+BC，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）由（1）中的AD=BD得到∠A=∠ABD；然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)推知∠BDC=2∠A；再由等腰三角形的性質(zhì)得到：∠C=∠BDC=2∠A；最后根據(jù)△ABC的內(nèi)角和定理來(lái)求∠A的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．