Question

如圖1，△ABC表示一塊含有30°角的直角三角板，30°所對的邊AC的長為2，以斜邊AB所在直線為x軸，AB邊上的高所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點的拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，等腰直角△DEF的斜邊DE始終在x軸上移動，且DE=2

3

．問當(dāng)其直角頂點F的初始位置落在y軸的負(fù)半軸時，△DEF經(jīng)過怎樣的平移后點F才落在（1）中的拋物線上？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出AC和AB的長，在Rt△AOC，同理可求出AO、CO的長，即可得到答案；
（2）根據(jù)題意設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=a（x-3）（x+1），把C的坐標(biāo)代入就能求出a的值，即可求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)等腰Rt△DEF的性質(zhì)，能求出F的坐標(biāo)，因為平移，所以點的縱坐標(biāo)與F的縱坐標(biāo)相等，把y=-

3

代入拋物線的解析式即可求出x的值，就能得到答案．

解答：（1）解：在Rt△ABC中，
∵∠CBA=30°，AC=2，
∴∠CAB=60°，AB=4，
由勾股定理得：BC=2

3

，
∴在Rt△AOC中，∠ACO=30°，
∴AO=1，CO=

3

，
∴BO=AB-AO=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，

3

），
答：A、B、C三點的坐標(biāo)分別是（-1，0），（3，0），（0，

3

）．

（2）解：根據(jù)題意設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=a（x-3）（x+1），
∵過點C（0，

3

），
∴-3×a=

3

，解得a=-

3

3

．
∴所求拋物線的關(guān)系式為y=-

3

3

（x-3）（x+1），即y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

，
答：過A、B、C三點的拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式是y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

．

（3）解：在等腰Rt△DEF中，
∵DE=2

3

，
即：OF=

3

，
∴F（0，-

3

）
當(dāng)y=-

3

，
∴-

3

3

（x-3）（x+1）=-

3

．解得x₁=1+

7

，x₂=1-

7

．
∴△DEF向右平移（1+

7

）個單位或者向左平移（

7

-1）個單位，點F才落在（1）中的拋物線上，
答：當(dāng)其直角頂點F的初始位置落在y軸的負(fù)半軸時，△DEF經(jīng)過向右平移（1+

7

）個單位或者向左平移（

7

-1）個單位后，點F才落在（1）中的拋物線上．

點評：本題考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，題型較好．