Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD=2，BC=4．點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，垂足為P，NP=2．連接AC交NP于Q，連接MQ．若點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒
（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示PC；
（2）求△CMQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)A作AE垂直x軸于E，則由等腰梯形的對(duì)稱(chēng)性可知BE的長(zhǎng)，從而得出PC；
（2）可證出△AQN∽△CQP，從而求出PQ的長(zhǎng)，則S_△CMQ=-+．再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得當(dāng)t取時(shí)，S有最大值．
解答：解：（1）如圖，過(guò)A作AE垂直x軸于E，則由等腰梯形的對(duì)稱(chēng)性可知：BE==1，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，PC=1+t．（2分）

（2）∵AD∥BC，NP⊥BC，
∴∠ANQ=∠CPQ=90°，
又∵∠AQN=∠CQP，
∴△AQN∽△CQP，
∴=，
∴=，
∴PQ=（4分）
∵點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，
∴BM=2t，CM=4-2t，
S_△CMQ=CM•PQ=（4-2t）•，
=-t²+t+，（6分）
當(dāng)t=2時(shí)，M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，△CMQ不存在，
∴t≠2，
∴t的取值范圍是0≤t＜2，（7分）
S_△CMQ=-t²+t+=-+．
當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值是．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，是中考?jí)狠S題．