Question

如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形
（1）求證：△ACE≌△DBE；
（2）若點P、Q、M、N分別是AB、BC、CD和DA中點，
①請在圖上畫出四邊形PQMN；
②試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結論；
③如果四邊形ABCD的面積為a，猜一猜四邊形PQMN的面積是多少？并寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）由△ADE和△BCE都是等邊三角形，得出AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC，則可得出△ACE≌△DBE．
（2）②因為點P、Q、M、N分別是AB、BC、CD和DA中點，所以PQ平行且等于

1

2

AC，MN平行且等于

1

2

AC，PN平行且等于

1

2

BD，又△ACE≌△DBE得AC=BD，即PQ=PN，所以四邊形PQMN是菱形．
③因為PQ平行且等于

1

2

AC，所以S_△PBQ=

1

4

S_△ABC，同理S_△DMN=

1

4

S_△ACD，同樣S_△APN=

1

4

S_△ABD，
S_△CQM=

1

4

S_△CBD，∴四邊形PQMN的面積為S_{四邊形PQMN}=a-

1

4

a-

1

4

a=

1

2

a．

解答：（1）證明：∵△ADE和△BCE都是等邊三角形
∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠CBE，
∴∠AED+∠DEC=∠BEC+∠DEC
即∠AEC=∠DEB
∴△ACE≌△DBE（SAS）．（3分）

（2）解：①在圖中上畫出四邊形（5分）

②四邊形PQMN為菱形（6分）
證明：∵P、Q分別是AB與BC的中點
∴PQ平行且等于

1

2

AC
同理MN平行且等于

1

2

AC，PN平行且等于

1

2

BD
∴PQ平行且等于MN
∴四邊形PQMN是平行四邊形（7分）
由（1）△ACE≌△DBE得AC=BD
∴PQ=PN
∴四邊形PQMN是菱形．（8分）
③如果四邊形ABCD的面積為a，則四邊形PQMN的面積是

1

2

a（9分）
∵PQ平行且等于

1

2

AC，∴S_△PBQ=

1

4

S_△ABC
同理S_△DMN=

1

4

S_△ACD
∴S_△DMN+S_△PBQ=

1

4

S_{四邊形ABCD}=

1

4

a
同理S_△APN+S_△CQM=

1

4

a
∴四邊形PQMN的面積為S_{四邊形PQMN}=a-

1

4

a-

1

4

a=

1

2

a．（11分）

點評：此題是一個綜合性很強的題目，主要考查了等邊三角形的性質，菱形的判定方法，求四邊形的面積等，同學們要熟練掌握．