Question

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，點(diǎn)O是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O 作OD∥BC，交AC于點(diǎn)D，在線段OB上取一點(diǎn)E，使OE=OD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交射線AC于點(diǎn)F，交射線BC于點(diǎn)G．
（1）如圖（1），求證：△ADE∽△AEF；
（2）設(shè)OA=x，AF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）當(dāng)CG=2時(shí)，求線段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵OD=OE∴∠ODE=∠OED
∵OD∥BC∴∠ODA=∠ACB
∵∠ACB=90°∴∠ODA=90°
∵EF⊥ED∴∠FED=90°
∴∠ADE=∠AEF
∵∠A=∠A∴△ADE∽△AEF

（2）解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10
∴BC=6
∵OD∥BC∴
∵AO=x∴AD=，OD=
∵OD=OE∴OE=
∴AE=
∵△ADE∽△AEF
∴
∴
∴

（3）解：當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上，圖1：
∵，AE=，AD=
∴EF=2DE
∵∠FED=90°∠GCF=90°
∴∠FED=∠GCF
∵∠F=∠F
∴△FED∽△FCG
∴
∵CG=2∴FC=4
∴AF=4+8=12
當(dāng)點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上，（備用圖）
同理可求得FC=4
∴AF=8-4=4
∴當(dāng)CG=2時(shí)，線段AF的長(zhǎng)為12或4．
分析：（1）首先利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可以得到∠ADE=∠AEF，而∠A=∠A，由此即可證明△ADE∽△AEF；
（2）首先利用勾股定理求出BC，然后利用平行線分線段成比例得到，接著由AO=x得到AD=，OD=，由OD=OE的OE=，所以AE=，最后利用（1）的結(jié)論和相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；
（3）有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上，如圖1，由（1）得到，AE=，AD=，接著得到EF=2DE，然后利用已知條件可以證明△FED∽△FCG，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出FC=4，也就求出AF；
②當(dāng)點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上，（備用圖）．方法和①一樣求出CG，然后求出AF．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，也考查了勾股定理及求函數(shù)解析式，綜合性比較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是多次利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決問(wèn)題．