Question

如圖，正三角形△A₁B₁C₁的面積為1，取△A₁B₁C₁各邊的中點A₂、B₂、C₂，作第二個正三角形△A₂B₂C₂，再取△A₂B₂C₂各邊的中點A₃、B₃、C₃，作第三個正三角形△A₃B₃C₃，…用同樣的方法作正三角形，則第2個正三角形△A₂B₂C₂的面積是

 

，第10個正三角形△A₁₀B₁₀C₁₀的面積是

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：先求前幾個三角形的面積，找出其中的規(guī)律，再求解．

解答：解：∵正三角形△A₁B₁C₁的面積為1，
而△A₂B₂C₂與△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
則面積的比是1：4，則正△A₂B₂C₂的面積是1×

1

4

；
因而正△A₃B₃C₃與正△A₂B₂C₂的面積的比也是1：4，面積是（

1

4

）²；
依此類推△A_nB_nC_n與△A_n-1B_n-1C_n-1的面積的比是1：4，
第n個三角形的面積是（

1

4

）^n-1．
∴第10個正△A₄B₄C₄的面積是（

1

4

）⁹，
故答案是：

1

4

，

1

49

或(

1

4

)9；

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)及應用，相似三角形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律是關鍵．