Question

如圖，點P，Q，R分別在△ABC的邊上AB、BC、CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，那么，△ABC面積的最大值是（　　）

• A、

  3

• B、2
• C、

  5

• D、3

Answer 1

分析：首先，若以Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分別記△APR，△BPQ，△CRQ，△PQR，利用三角形內角和定理，求證：h₂≤h₁（h₁，h₂分別為△QRP，△APR公共邊PR上的高．因若作出△PQR關于PR的對稱圖形PQ′R，這時Q′，A都在以PR為弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ′=Q′R，所以Q′為這弧中點，故可得出h₂≤h₁）．最后，當AB=AC-2，∠A=90°時，即可得出△ABC面積的最大值．

解答：解：首先，若以Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分別記△APR，△BPQ，△CRQ，△PQR，
則S_Ⅱ，S_Ⅲ，S_Ⅳ均不大于

1

2

×1×1=

1

2

．
又∵∠PQR=180°-（∠B+∠C）=∠A，
∴h₂≤h₁（h₁，h₂分別為△QRP，△APR公共邊PR上的高，因若作出△PQR關于PR的對稱圖形PQ′R，這時Q′，A都在以PR為弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ′=Q′R，所以Q′為這弧中點，故可得出h₂≤h₁）．
從而S₁≤S_Ⅳ≤

1

2

，這樣S_△ABC=S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ+S_N≤4×

1

2

=2
最后，當AB=AC-2，∠A=90°時，
S_△ABC=2即可以達到最大值2．
故選B．

點評：此題主要考查學生對三角形面積的理解和掌握，但此題涉及的知識點較多，尤其是涉及到弧、弦、對稱圖形，是一道難題．