Question

已知二次函數(shù)y=x²-（2m+1）x+m²-1．
（1）如果該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，請求出m的值及此時圖象與x軸的另一交點的坐標；
（2）如果該函數(shù)的圖象的頂點在第四象限，請求出m的取值范圍；
（3）若把（1）中求得的函數(shù)的圖象沿其對稱軸上下平行移動，使頂點移到直線y=

1

2

x上，請求出此時函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）當函數(shù)圖象過原點時，m²-1=0，即可求出m的值，進而可求出拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式即可得出二次函數(shù)與x軸的另一交點的坐標．
（2）先用配方法求出二次函數(shù)的頂點坐標，然后讓縱坐標大于0，縱坐標小于0即可求出m的取值范圍．
（3）可將（2）中得出的拋物線頂點坐標代入直線的解析式中即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）由題意可知m²-1=0
解得m=1，m=-1，
當m=1時，y=x²-3x，二次函數(shù)與x軸另一交點的坐標為（3，0）；
當m=-1時，y=x²+x，二次函數(shù)與x軸另一交點的坐標為（-1，0）．
（2）已知拋物線的解析式為y=x²-（2m+1）x+m²-1=（x-

2m+1

2

）²-

5+4m

4

因此拋物線的頂點坐標為（

2m+1

2

，-

5+4m

4

）
由于拋物線頂點在第四象限因此可得

2m+1 2 ＞0 - 5+4m 4 ＜0

解得m＞-

1

2

．
（3）由題意可知

1

2

×

2m+1

2

=-

5+4m

4

解得m=-1．
因此拋物線的解析式為y=x²+x．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質等知識點，將二次函數(shù)的解析式化為頂點式進行求解是解題的基本思路．