Question

（2003•蘇州）OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=6．
（1）如圖1，在OA上選取一點(diǎn)G，將△COG沿CG翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上，記為E，求折痕y₁所在直線的解析式；
（2）如圖2，在OC上選取一點(diǎn)D，將△AOD沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上，記為E'．
①求折痕AD所在直線的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于點(diǎn)F．若拋物線y=-x²+h過點(diǎn)F，求此拋物線的解析式，并判斷它與直線AD的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（3）如圖3，一般地，在OC、OA上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D'、G'，使紙片沿D'G'翻折后，點(diǎn)O落在BC邊上，記為E''．請(qǐng)你猜想：折痕D'G'所在直線與②中的拋物線會(huì)有什么關(guān)系？用（1）中的情形驗(yàn)證你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：四邊形OGEC是個(gè)正方形，因此OC=OG=6，據(jù)此可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線CG的解析式．
（2）①本題的關(guān)鍵是求出D的坐標(biāo)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AE′=OA，那么可在直角三角形ABE′中求出BE′的長，進(jìn)而可求出CE′的值．在直角三角形CDE′中，CD=6-OD，DE′=OD，根據(jù)勾股定理即可求出OD的長，也就得出了D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式．
②①中已經(jīng)求得CE′的長，即F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可根據(jù)直線AD的解析式求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將F的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式來判斷其與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
解答：解：（1）由折疊法知，四邊形OCEG是正方形，
∴OG=OC=6，
∴G（6，0），C（0，6）．
設(shè)直線CG的解析式為y=kx+b，
則0=6k+b，6=0+b，
∴k=-1，b=6，
∴直線CG的解析式為：y=-x+6．

（2）①在Rt△ABE'中，BE'==8，
∴CE′=2．
設(shè)OD=s，則DE'=s，CD=6-s，
在Rt△DCE'中，s²=（6-s）²+2²，
∴s=．
則D（0，）
設(shè)AD：y=k'x+，
由于它過A（10，0），
∴k'=-，
∴AD：y=-x+．
②∵E'F∥AB，E'（2，6），
∴設(shè)F（2，y_F），
∵F在AD上，
∴y_F=-×2+=，
∴F（2，）．
又∵點(diǎn)F在拋物線y=-x²+h上，
∴=-×4+h，
∴h=3．
∴拋物線的解析式為：y=-x²+3．
即-x²+x-=0，
∵△=（）²-4×（-）×（-）=0
∴直線AD與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．

（3）例如可以猜想：
（ⅰ）折痕所在直線與拋物線y=-x²+3只有一個(gè)交點(diǎn)；
或（ⅱ）若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，則F'在拋物線y=-x²+3上．
驗(yàn)證：（ⅰ）在圖1中，折痕為CG，
將y=-x+6代入y=-x²+3，
得-x²+x-3=0．
∵△=1-4×（-3）×（-）=0，
∴折痕CG所在直線的確與拋物線y=-x²+3只有一個(gè)交點(diǎn)．
或（ⅱ）在圖1中，D'即C，E''即E，G'即G，交點(diǎn)F'也為G（6，0），
∴當(dāng)x=6時(shí)，y=-x²+3=-×6²+3=0，
∴G點(diǎn)在這條拋物線上．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、一元二次方程根的判別式等知識(shí)點(diǎn)．