Question

如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AC、AB的平行線(xiàn)分別交AB、AC于F、E．
（1）若△BFD的面積為4，△DEC的面積為9，求△ABC的面積．
（2）設(shè)△BDF與△DEC的面積分別為S₁，S₂，平行四邊形AFDE的面積為S₃，求證：S₁+S₂≥S₃，并指出點(diǎn)D位于BC的何處時(shí)S₁+S₂=S₃成立？

Answer 1

（1）解：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴∠B=∠CDE，∠BFD=∠A，
∴△BDF∽△DCE，
∴S_△BDF：S_△DCE=BD²：DC²=4：9，
∴BD：DC=2：3，
∴BD：BC=2：5，
又∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BAC，
∴S_△BFD：S_△BAC=BD²：BC²=4：25，
∴S_△ABC=25．

（2）證明：設(shè)BD=a，DC=b，
∵△BFD∽△BAC，
∴=①，
∵△CED∽△CAB，
∴=②，
①+②得，=，
∴=，
由（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，
∴S₁+S₂≥S₃，
當(dāng)a²+b²=2ab，即（a-b）²=0，S₁+S₂=S₃成立．
∴a=b，即點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
分析：（1）由DF∥AC，DE∥AB，得△BDF∽△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得S_△BDF：S_△DCE=BD²：DC²=4：9，則BD：DC=2：3，得到
BD：BC=2：5，又△BFD∽△BAC，得到S_△BFD：S_△BAC=BD²：BC²=4：25，即可得到△ABC的面積．
（2）設(shè)BD=a，DC=b，由△BFD∽△BAC，得=①；由△CED∽△CAB，得=②，
①+②得，=，利用比例的性質(zhì)得=≥1，即可得到結(jié)論．當(dāng)（a-b）²=0，S₁+S₂=S₃成立，即點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊，截得的三角形與原三角形相似；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了比例和不等式的性質(zhì)．