Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（5，0）、B（6，-6）和原點．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）過點C（1，4）作平行于x軸的直線交y軸于點D，在拋物線對稱軸右側(cè)位于直線DC下方的拋物線上，任取一點P，過點P作直線PF平行于y軸交x軸于點F，交直線DC于點E．直線PF與直線DC及兩坐標軸圍成矩形OFED（如圖），是否存在點P，使得△OCD與△CPE相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A，B，C三點代入二次函數(shù)解析式即可求得二次函數(shù)解析式．
（2）兩三角形相似，已有兩個直角相等，那么夾直角的兩邊對應(yīng)成比例；注意對應(yīng)邊的不同可分兩種情況進行分析．

解答：解：（1）由題意得：

25a+5b+c=0 36a+6b+c=0 a+b+c=4

．
解得

a=-1 b=5 c=0

．
故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+5x；

（2）存在P，使得△OCD∽△CPE．
設(shè)P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°
故CE=m-2，EP=6-n
若要△OCD∽△CPE，則要

OD

CE

=

DC

EP

或

OD

EP

=

DC

CE

即

6

m-2

=

2

6-n

或

6

6-n

=

2

m-2

解得m=20-3n或n=12-3m
又因為（m，n）在拋物線上，
 

m=20-3n n=-m2+5m

或

n=12-3m n=-m2+5m

．
解得

m1= 10 3 n1= 50 9

，即

m2=2 n2=6

，
或

m1=2 n1=6

，即

m2=6 n2=-6

，
故P點坐標為（

10

3

，

50

9

）和（6，-6）．

點評：本題是一道涉及函數(shù)、相似、三角等知識的綜合題，解決第3題的關(guān)鍵在于通過觀察得出對結(jié)果的合理猜想在進行證明，難度應(yīng)該不會很大．