Question

【題目】如圖，拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（﹣1，3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B（﹣4，0），直線y2=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①2a﹣b=0；②abc＜0；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）；④方程ax2+bx+c﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；⑤當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時(shí)，則y2＜y1．

其中正確的是（　　）

A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：根據(jù)拋物線對(duì)稱軸方程對(duì)①進(jìn)行判斷；由拋物線開口方向得到a<0，由對(duì)稱軸位置可得b>0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可得c>0，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)函數(shù)圖象得當(dāng)-4<x<-1時(shí)，一次函數(shù)圖象在拋物線下方，則可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

詳解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（﹣1，3），

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣=﹣1，

∴2a﹣b=0，所以①正確；

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∴b=2a＜0，

∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＞0，所以②錯(cuò)誤；

∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣4，0）

而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），所以③錯(cuò)誤；

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（﹣1，3），

∴x=﹣1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，

∴方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確；

∵拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=mx+n（m≠0）交于A（﹣1，3），B點(diǎn)（﹣4，0）

∴當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時(shí)，y2＜y1，所以⑤正確．

故選：C．

點(diǎn)睛:本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y =ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0）對(duì)稱在y軸左；當(dāng)a 與b異號(hào)時(shí)即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；b-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．