Question

（2012•上海模擬）已知在直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-2，3）和點B（0，-5）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）將這個函數(shù)的圖象向右平移，使它再次經(jīng)過點B，并記此時函數(shù)圖象的頂點為M．如果點P在x軸的正半軸上，且∠MPO=∠MBO，求∠BPM的正弦值．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中有兩個待定系數(shù)，直接將已知的兩點坐標代入其中，即可求出待定系數(shù)的值，由此得解．
（2）可先求出點A或B關于拋物線對稱軸的對稱點，據(jù)此找出拋物線平移的距離，由此先得出點M的坐標；若∠MBO=∠MPO，那么它們加上一對對頂角后可發(fā)現(xiàn)，∠BMP=∠BOP=90°，即△MPB是直角三角形，首先利用勾股定理確定點P的坐標，則BM、PM的長可知，進而可得到∠BPM的正弦值．

解答：解：（1）由題意，得

3=-4-2b+c -5=c

，
解得

b=-6 c=-5

；
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-x²-6x-5．

（2）二次函數(shù)y=-x²-6x-5圖象的頂點坐標為（-3，4），且經(jīng)過點（-6，-5）；
∴圖象向右平移6個單位，平移后的頂點M的坐標為（3，4）．
由題意∠MPO=∠MBO，由右圖知：∠MNP=∠BNO，可得：
∠MPO+∠MNP=∠MBO+∠BNO，即：∠PMB=∠POB=90°．
已知B（0，-5）、M（3，4），設點P的坐標為（x，0），則：
BM²=（0-3）²+（-5-4）²=90、MP²=（x-3）²+16、BP²=x²+25；
∴（x-3）²+16+90=x²+25，解得 x=15；
∴點P的坐標為（15，0）．
∴BM=3

10

，PB=5

10

．
∴sin∠BPM=

3

5

．

點評：此題主要考查的是函數(shù)解析式的確定以及解直角三角形的相關知識；題目的難度不大，最后一題中，準確判斷出∠PMB的度數(shù)是解答題目的關鍵所在．