Question

如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)F，連接DO并延長交AC于點(diǎn)E，且DE⊥AC
（1）求證：CE=DF；
（2）求∠BOD的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）連接AD，由垂徑定理可知DE是AC的垂直平分線，故可得出AD=CD，同理可得AC=AD，故AC=AD=CD，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）由（1）知△ACD是等邊三角形，再由垂徑定理可知

BC

=

BD

，根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：連接AD，
∵DE⊥AC，
∴AE=CE，
∴AD=CD，
同理可得AC=AD，
∴AC=AD=CD，
∴

1

2

AC=

1

2

CD，即CE=DF；

（2）∵由（1）知△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°，
∵直徑AB⊥CD于點(diǎn)F，
∴

BC

=

BD

，∠DAB=30°，
∴∠BOD=2∠DAB=60°．

點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．