Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

Answer 1

考點：

矩形的判定；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的判定．

專題：

證明題；開放型．

分析：

（1）根據(jù)矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，我樣可以證明四邊形ADCE為矩形．

（2）根據(jù)正方形的判定，我們可以假設當AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的結論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．

解答：

（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，

∴∠MAE=∠CAE，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四邊形ADCE為矩形．（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

理由：∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD=∠ACD=45°，

∴DC=AD，

∵四邊形ADCE為矩形，

∴矩形ADCE是正方形．

∴當∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

點評：

本題是以開放型試題，主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識點的綜合運用．