Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是ED上任意一點(diǎn)，過F作ED的垂線，交AD于G，交BC的延長(zhǎng)線于H，則線段GH的長(zhǎng)為________．

Answer 1

分析：首先過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，易得四邊形ABKG是矩形，然后根據(jù)AAS可證得△AED≌△KHG，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，求得DE=GH，又由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理即可求得DE的長(zhǎng)，則可求得線段GH的長(zhǎng)．
解答：解：過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，
∴∠GKB=∠GKH=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD=2，AD∥BC，
∴四邊形ABKG是矩形，∠A=∠GKH=90°，
∴AB=GK，
∴AD=GK=2，
∵GH⊥DE，
∴∠FGD+∠FDG=90°，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠FGD，
∵AD∥BC，
∴∠H=∠FGD，
∴∠H=∠AED，
在△AED和△KHG中，
，
∴△AED≌△KHG（AAS），
∴GH=AD，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=AB=1，
∴GH=DE==．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．