Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F．
（1）求證：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的直徑AB和線段CE的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理

專題：

分析：（1）首先延長CE交⊙O于點M，由CE⊥AB，根據(jù)垂徑定理即可得

BC

=

BM

，又由C是弧BD的中點，即可證得

CD

=

BM

，然后由圓周角定理，證得∠1=∠2，即可證得CF=BF；
（2）由C是弧BD的中點，可得BC=CD=6，又由AB是⊙O的直徑，即可證得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的長，然后利用三角形的面積，求得高CE的長．

解答：（1）證明：延長CE交⊙O于點M，
∵CE⊥AB，
∴

BC

=

BM

，
∵C是弧BD的中點，
∴

CD

=

BC

，
∴

CD

=

BM

，
∴∠1=∠2，
∴CF=BF；

（2）解：∵C是弧BD的中點，
∴BC=CD=6，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
∵CE⊥AB，
∴CE=

AC•BC

AB

=4.8．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．