Question

（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE；
（2）解：成立，證明如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，
∴∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解題的關(guān)鍵．