將兩塊全等的三角板如圖①擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)將圖①中的△A1B1C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖②,點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn),點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn),求證:CP1=CQ;
(2)在圖②中,若AP1=2,則CQ等于多少?
(3)如圖③,在B1C上取一點(diǎn)E,連接BE、P1E,設(shè)BC=1,當(dāng)BE⊥P1B時,求△P1BE面積的最大值.

【答案】分析:(1)先判斷∠B1CQ=∠BCP1=45°,利用ASA即可證明△B1CQ≌△BCP1,從而得出結(jié)論.
(2)作P1D⊥CA于D,在RtADP1中,求出P1D,在Rt△CDP1中求出CP1,繼而可得出CQ的長度.
(3)證明△AP1C∽△BEC,則有AP1:BE=AC:BC=:1,設(shè)AP1=x,則BE=x,得出S△P1BE關(guān)于x的表達(dá)式,利用配方法求最值即可.
解答:(1)證明:∵∠B1CB=45°,∠B1CA1=90°,
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°,
∵在△B1CQ和△BCP1中,
,
∴△B1CQ≌△BCP1(ASA),
∴CQ=CP1

(2)作P1D⊥CA于D,

∵∠A=30°,
∴P1D=AP1=1,
∵∠P1CD=45°,
=sin45°=,
∴CP1=P1D=,
又∵CP1=CQ,
∴CQ=

(3)∵∠P1BE=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=∠CBE=30°,
∴AC=BC,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:∠ACP1=∠BCE,
∴△AP1C∽△BEC,
∴AP1:BE=AC:BC=:1,
設(shè)AP1=x,則BE=x,
在Rt△ABC中,∠A=30°,
∴AB=2BC=2,
∴S△P1BE=×x(2-x)=-x2+x
=-(x-1)2+,
故當(dāng)x=1時,S△P1BE(max)=
點(diǎn)評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),解答本題需要我們熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及配方法求二次函數(shù)的最值,有一定難度.
練習(xí)冊系列答案
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將兩塊全等的三角板如圖1擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)將圖1中△A1B1C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn),點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn),求證:CP1=CQ;
(2)在圖2中,若AP1=a,則CQ等于多少?
(3)將圖2中△A1B1C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C(如圖3),點(diǎn)P2是A2C與AP1的交點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時,有△AP1C∽△CP1P2?這時線段CP1與P1P2之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系?.精英家教網(wǎng)

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(1)將圖①中的△A1B1C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖②,點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn),點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn),求證:CP1=CQ;
(2)在圖②中,若AP1=2,則CQ等于多少?
(3)如圖③,在B1C上取一點(diǎn)E,連接BE、P1E,設(shè)BC=1,當(dāng)BE⊥P1B時,求△P1BE面積的最大值.

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 將兩塊全等的三角板如圖1擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°。

1.(1)將圖1中△A1B1C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,點(diǎn)與AB的交點(diǎn),點(diǎn)Q是與BC的交點(diǎn),求證:=;

2.(2)在圖2中,若AP1=,則CQ等于多少?

3.(3)將圖2中△繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到△(如圖3),點(diǎn)與AP1的交點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時,有△A P1C∽△CP1P2? 這時線段之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系?.

         

 

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將兩塊全等的三角板如圖1擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°。
【小題1】(1)將圖1中△A1B1C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,點(diǎn)與AB的交點(diǎn),點(diǎn)Q是與BC的交點(diǎn),求證:=
【小題2】(2)在圖2中,若AP1=,則CQ等于多少?
【小題3】(3)將圖2中△繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到△(如圖3),點(diǎn)與AP1的交點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時,有△A P1C∽△CP1P2? 這時線段之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系?.

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(2013年四川自貢12分)將兩塊全等的三角板如圖①擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.

(1)將圖①中的△A1B1C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖②,點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn),點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn),求證:CP1=CQ;

(2)在圖②中,若AP1=2,則CQ等于多少?

(3)如圖③,在B1C上取一點(diǎn)E,連接BE、P1E,設(shè)BC=1,當(dāng)BE⊥P1B時,求△P1BE面積的最大值.

 

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