Question

△ABC中∠C=30°，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點(diǎn)與邊BC上的E點(diǎn)使得AD=BE=AB．求證：OI丄DE，OI=DE．

Answer 1

證明：如圖所示，作∠DAO平分線交BC于K．
易證△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB．
利用內(nèi)心張角公式，有
∠AIB=90°+∠C=105°，
∴∠DIE=360°-105°×3=45°．
∵∠AKB=30°+∠DAO
=30°+（∠BAC-∠BAO）
=30°+（∠BAC-60°）
=∠BAC=∠BAI=∠BEI．
∴AK∥IE．
由等腰△AOD可知DO丄AK，
∴DO丄IE，即DF是△DIE的一條高．
同理點(diǎn)O是△DIE之垂心，OI丄DE．
∵∠DIE=∠IDO，∴OI=DE．
分析：輔助線如圖所示，作∠DAO平分線交BC于K．易證△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB．利用內(nèi)心張角公式，有
∠AIB=90°+∠C=105°，可證得AK∥IE．由等腰△AOD可知DO丄AK，從而得出OI丄DE．由∠DIE=∠IDO，則OI=DE．
點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓和全等三角形的判定和性質(zhì)．