Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，E為CD邊的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)E作ME⊥AF交BC于點(diǎn)M，連接AM、BD交于點(diǎn)N，現(xiàn)有下列結(jié)論： ①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=ADCM；④點(diǎn)N為△ABM的外心．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵E為CD邊的中點(diǎn)， ∴DE=CE，
又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=FE，
又∵M(jìn)E⊥AF，
∴ME垂直平分AF，
∴AM=MF=MC+CF，
∴AM=MC+AD，故①正確；
當(dāng)AB=BC時(shí)，即四邊形ABCD為正方形時(shí)，
設(shè)DE=EC=1，BM=a，則AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，
在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2 ，
解得a=1.5，即BM=1.5，
∴由勾股定理可得AM=2.5，
∴DE+BM=2.5=AM，
又∵AB＜BC，
∴AM=DE+BM不成立，故②錯(cuò)誤；
∵M(jìn)E⊥FF，EC⊥MF，
∴EC2=CM×CF，
又∵EC=DE，AD=CF，
∴DE2=ADCM，故③正確；
∵∠ABM=90°，
∴AM是△ABM的外接圓的直徑，
∵BM＜AD，
∴當(dāng)BM∥AD時(shí)， = ＜1，
∴N不是AM的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)N不是△ABM的外心，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)，
故選：B．

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得出AM=MC+AD；根據(jù)當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ABCD為正方形進(jìn)行判斷，即可得出當(dāng)AB＜BC時(shí)，AM=DE+BM不成立；根據(jù)ME⊥FF，EC⊥MF，運(yùn)用射影定理即可得出EC2=CM×CF，據(jù)此可得DE2=ADCM成立；根據(jù)N不是AM的中點(diǎn)，可得點(diǎn)N不是△ABM的外心．