Question

（2011•資陽(yáng)）已知拋物線C：y=ax²+bx+c（a＜0）過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0），A為拋物線C的頂點(diǎn)．
（1）如圖1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；
（2）如圖2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′，求拋物線C、C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)A′為拋物線C′的頂點(diǎn)，求拋物線C或C′上使得PB=PA′的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先連接AB，根據(jù)A點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn)，且C交x軸于O、B，得出AO=AB，再根據(jù)∠AOB=60°，得出△ABO是等邊三角形，再過(guò)A作AE⊥x軸于E，在Rt△OAE中，求出OD、AE的值，即可求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后設(shè)拋物線C的解析式，求出a的值，從而得出拋物線C的解析式；
（2）先過(guò)A作AE⊥OB于E，根據(jù)題意得出OE=

1

2

OB=2，再根據(jù)直線OA的解析式為y=x，得出AE=OE=2，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出拋物線C的解析式，再根據(jù)拋物線C、C′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得出拋物線C′的解析式；
（3）先作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），由（2）知，拋物線C′的頂點(diǎn)為A′（-2，-2），得出A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再作MH⊥x軸于H，得出△MHN∽△BHM，則MH²=HN•HB，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)直線l過(guò)點(diǎn)M（1，-1）、N（

2

3

，0），得出直線l的解析式，求出x的值，再根據(jù)拋物線C上存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，從而得出P₁，P₂坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線C′上也存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，得出P₃，P₄的坐標(biāo)，即可求出答案．

解答：解：（1）連接AB．
∵A點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn)，且拋物線C交x軸于O、B，
∴AO=AB，
又∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等邊三角形，
過(guò)A作AD⊥x軸于D，在Rt△OAD中，
∴OD=2，AD=2

3

，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2

3

）
設(shè)拋物線C的解析式為y=a(x-2)2+2

3

（a≠0），
將O（0，0）的坐標(biāo)代入，
求得：a=-

3

2

，
∴拋物線C的解析式為y=-

3

2

x2+2

3

x．

（2）過(guò)A作AE⊥OB于E，
∵拋物線C：y=ax²+bx+c（a＜0）過(guò)原點(diǎn)和B（4，0），頂點(diǎn)為A，
∴OE=

1

2

OB=2，
又∵直線OA的解析式為y=x，
∴AE=OE=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c（a＜0）中，
∴a=-

1

2

，
∴拋物線C的解析式為y=-

1

2

x2+2x，
又∵拋物線C、C′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴拋物線C′的解析式為y=

1

2

x2+2x；

（3）作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），
由前可知，拋物線C′的頂點(diǎn)為A′（-2，-2），
故A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1）．
作MH⊥x軸于H，
∴△MHN∽△BHM，則MH²=HN•HB，即1²=（1-n）（4-1），
∴n=

2

3

，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2

3

，0）．
∵直線l過(guò)點(diǎn)M（1，-1）、N（

2

3

，0），
∴直線l的解析式為y=-3x+2，

y=-3x+2 y=- 1 2 x2+2x

，解得x=5±

21

．
∴在拋物線C上存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，其坐標(biāo)分別為
P₁（5+

21

，-13-3

21

），P₂（5-

21

，-13+3

21

）；
解

y=-3x+2 y= 1 2 x2+2x

得，x=-5±

29

．
∴在拋物線C′上也存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，其坐標(biāo)分別為
P₃（-5+

29

，17-3

29

），P₄（-5-

29

，17+3

29

）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P₁（5+

21

，-13-3

21

），P₂（5-

21

，-13+3

21

），P₃（-5+

29

，17-3

29

），P₄（-5-

29

，17+3

29

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，綜合性較強(qiáng)．